今日の一問 数学（新潟県・改）
2013/11/19
－相似の問題－
下の図のように、∠BAC=30°、∠ACB=90°、BC=6cmの△ABCがある。
辺AB上に点Oをとり、点Oを中心とする円が、辺ACと点Dで接している。
また、円Oと辺ABの交点を、Aに近いほうからE、Fとする。
このとき、△ABC∽△FEDであることを証明しなさい。
＜答え＞
△ABCと△FEDにおいて、
仮定より、∠ACB=90° ・・・①
直径EFに対する円周角より、∠FDE=90° ・・・②
①②より、∠ACB=∠FDE ・・・③
また、AC⊥ODより、∠EOD=90°-30°=60°だから、
円周角の定理より、∠EFD=60°÷2=30° ・・・④
仮定より、∠BAC=30° ・・・⑤
④⑤より、∠BAC=∠EFD ・・・⑥
③⑥より、２組の角がそれぞれ等しいから、
△ABC∽△FED
＜ワンポイントアドバイス＞
本問のように、三角形に円が接している図形が用いられている場合、円の接線の性質や円周角の定理を使うことがポイントになるので覚えておこう。
